晚宴結束後，龐學林按照約定，直接去了張一唐居住的酒店房間。
“龐教授，來了，快請進！”
張一唐將龐學林迎了進來。
張一唐住的是一個行政套房，有專門的會客室。
兩人來到會客室，張一唐先去泡了兩杯咖啡，然後才捧著一堆稿紙走了過來。
“龐教授，這是我過去半年關于龐氏幾何理論的一些想法，你先幫我看看，其中有沒有什麼錯漏！”
“好！”
龐學林接過稿紙，翻閱起來。
會客室內陷入了沉寂之中。
時間一分一秒過去，一直到半小時後，龐學林才抬起頭，問道︰“張教授，你準備用龐氏幾何的方法去證明孿生素數猜想？”
張一唐點頭道︰“正常情況下，一個重大命題的突破，一般都會誕生全新的數學工具。但是我當年證明弱化版孿生素數猜想的時候，采用的是比較傳統的數學方法，但證明兩個孿生素數之間的差值小于七千萬後，我就感覺傳統方法走到了極限。再往下，恐怕必須要用一些全新的數學工具了！”
“這些年來，我一直在嘗試建立一個這樣一個數學工具，只是如今年紀大了，思維和精力也比不上以前。直到去年下半年，你那篇關于龐氏幾何的論文橫空出世，我才隱隱感覺到，龐氏幾何，就是解決孿生素數猜想的關鍵鑰匙！”
龐學林點了點頭。
龐氏幾何解釋了有理數的絕對伽羅華群，以至任意代數簇的平展基本群，會如何影響相應代數結構的性質。
這一理論從本質上闡明了加法結構和乘法結構的性質，在數論與代數幾何之間，架起了橋梁。
對于涉及數論領域的諸多猜想，如哥德巴赫猜想、ab猜想、孿生素數猜想、冰雹猜想等，都有著非常重大的意義。
張一唐想要通過龐氏幾何的相關理論去解決孿生素數猜想問題，龐學林並不意外。
所謂孿生素數猜想，就是指存在無窮多個素數p，使得p2是素數。素數對（p，p2）稱為孿生素數。
這個猜想源自希爾伯特23問中的第八個問題，由希爾伯特1900年在國際數學家大會上提出。
但一百多年過去了，這個猜想依舊困擾著全球的數學家。
迄今為止，在證明孿生素數猜想上的成果大體可以分為兩類。
第一類是所謂的非估算性結果，這方面迄今最好的結果是一九六六年由已故的我國數學家陳景潤利用大篩法所取得的。
陳景潤證明了︰存在無窮多個素數p，使得p2要麼是素數，要麼是兩個素數的乘積。
這個結果與他關于哥德巴赫猜想的結果很類似。
目前一般認為，由于篩法本身的局限性，這一結果在篩法範圍內很難被超越。
第二類則是估算性結果，張一唐所取得的成果就屬于這一類。
這類結果估算的是相鄰素數之間的最小間隔，用數學語言表達，便是︰Δ:=l→∞f[(pn1-pn)/ln(pn)]。
翻譯成白話文，這個表達式所定義的是兩個相鄰素數之間的間隔，與其中較小的那個素數的對數值之比在整個素數集合中所取的最小值。
很顯然，孿生素數猜想如果成立，那麼Δ必須等于0。
因為孿生素數猜想表明pn1-pn=2對無窮多個n成立，而ln(pn)→∞，因此兩者之比的最小值對于孿生素數集合(從而對于整個素數集合也)趨于零。
不過要注意，Δ=0只是孿生素數猜想成立的必要條件，而不是充份條件。
換句話說，如果能證明Δ≠0，則孿生素數猜想就不成立；但證明Δ=0卻並不意味著孿生素數猜想就一定成立。
國際上對Δ的進一步估算始于哈代和李特爾伍德。
一九二六年，他們運用圓法證明了假如廣義黎曼猜想成立，則Δ≦2/3。
這一結果後來被被蘭金改進為Δ≦3/5。
但這兩個結果都有賴于本身尚未得到證明的廣義黎曼猜想，因此只能算是有條件的結果。
一九四零年，鮑爾愛迪斯利用篩法首先給出了一個不帶條件的結果︰Δ<1 。
此後里奇于一九五五年，波比利和德文堡于一九六六年，hley于一九七七年，分別把這一結果推進到Δ≦15/16，Δ≦(2ˇ3)/8 04665及Δ≦04425。
在張一唐之前，這一方法最好的結果是邁爾在一九八六年取得的Δ≦02486。
而張一唐，則將這一結果大大往前推進了一步。
但即便如此，張一唐之前的工作，距離最終證明孿生素數猜想，依舊有著很遠的距離。
“龐教授，我手稿上的寫的這些東西，你覺得思路上存在什麼問題或者瑕疵嗎？”
張一唐問道。
龐學林搖了搖頭，說道︰“不好說，我對孿生素數猜想研究不多，您提出的這個思路，我覺得可以嘗試一下，但具體能不能成功，我也不敢保證。”
張一唐笑道︰“只要整體思路上沒問題就好。”
張一唐猶豫了片刻道︰“龐教授，我有個不情之請，不知道你願不願意答應？”
龐學林微微一楞，點頭道︰“您說！”
張一唐道︰“龐教授，我今年已經六十六了，說實話，這個年紀，主要工作已經放在了幫助培養一下年輕一代的數學家上，想要在學術道路上再往上走一走，難度很大。但我不甘心，我這輩子浪費了太多時間了，我依舊希望能在學術道路上往上走一走。所以我想請你幫個忙，未來兩年內，你能不能把主要精力放在攻克孿生素數猜想上，老頭子我想和你來一場學術競賽。你如果能加入進來，我反而更有動力了！到時候不管是你，還是我自己證明了這一猜想，都算了卻了我心中最大的願望！如果兩年後，我們都沒出成果，那這個約定就自動取消！”
龐學林笑了起來，說道︰“張教授，我答應你！”
不管是出于對這位大器晚成，壯心不已的數學家的尊重，還是出于對這一困擾人類一百二十年的猜想的興趣，龐學林都不會拒絕。